تحدب السند | صيغة | المدة | عملية حسابية

ما هو محدب السند؟

محدب السند هو مقياس يوضح العلاقة بين سعر السند وعائد السند ، أي التغيير في مدة السند بسبب التغيير في معدل الفائدة ، مما يساعد أداة إدارة المخاطر على قياس وإدارة المحفظة. التعرض لمخاطر أسعار الفائدة ومخاطر فقدان التوقعات

خاطئة

كما نعلم ، فإن سعر السند والعائد مرتبطان عكسيًا ، أي عندما يزيد العائد ينخفض ​​السعر. ومع ذلك ، فإن هذه العلاقة ليست خطًا مستقيمًا ولكنها منحنى محدب. يقيس التحدب الانحناء في هذه العلاقة ، أي كيف تتغير المدة مع تغير عائد السند.

مدة السند هي العلاقة الخطية بين سعر السند وأسعار الفائدة حيث ينخفض ​​سعر السند مع زيادة أسعار الفائدة. ببساطة ، تعني المدة الأعلى أن سعر السند أكثر حساسية لتغيرات الأسعار. بالنسبة للتغيير البسيط والمفاجئ في السند ، تعد مدة العائد مقياسًا جيدًا لحساسية سعر السند. ومع ذلك ، بالنسبة للتغييرات الأكبر في العائد ، فإن قياس المدة ليس فعالاً لأن العلاقة غير خطية وهي منحنى. هناك أربعة أنواع مختلفة من مقاييس المدة وهي مدة Macaulay ، والمدة المعدلة ، والمدة الفعالة ، ومدة السعر الأساسي ، وكلها تقيس المدة التي يستغرقها سعر السند ليتم سداده من خلال التدفقات النقدية الداخلية. ما يختلفون فيه هو كيفية تعاملهم مع تغيرات أسعار الفائدة وخيارات السندات المضمنة وخيارات استرداد السندات. ومع ذلك ،لا تأخذ في الاعتبار العلاقة غير الخطية بين السعر والعائد.

يقيس التحدب حساسية مدة السند للتغيير هي العائد. التحدب هو مقياس جيد لتغيرات أسعار السندات مع تقلبات أكبر في أسعار الفائدة. من الناحية الحسابية ، فإن التحدب هو المشتق الثاني من معادلة التغيير في أسعار السندات مع تغيير في أسعار الفائدة والمشتق الأول لمعادلة المدة.

صيغة التحدب بوند

  

حساب مثال التحدب

بالنسبة لسند القيمة الاسمية 1000 دولار أمريكي بقسيمة نصف سنوية بنسبة 8.0٪ وعائد 10٪ و 6 سنوات حتى تاريخ الاستحقاق والسعر الحالي 911.37 ، المدة 4.82 سنة والمدة المعدلة 4.59 والحساب للتحدب سيكون:

التحدب السنوي: التحدب نصف السنوي / 4 = 26.2643 التحدب نصف السنوي: 105.0573

في المثال أعلاه ، يمكن استخدام التحدب البالغ 26.2643 للتنبؤ بتغير السعر لتغير بنسبة 1٪ في العائد على النحو التالي:

إذا تم استخدام المدة المعدلة فقط:

التغيير في السعر =   - المدة المعدلة * التغيير في العائد

التغير في السعر لزيادة العائد بنسبة 1٪ = (- 4.59 * 1٪) = -4.59٪  

لذلك سينخفض ​​السعر بمقدار 41.83

لاستيعاب الشكل المحدب للرسم البياني ، يتغير التغيير في صيغة السعر إلى:

التغيير في السعر = [ - المدة المعدلة * التغيير في العائد ] + [ 1/2 * التحدب * (التغيير في العائد) 2 ]

التغيير في السعر لزيادة العائد بنسبة 1٪ = [ -4.59 * 1٪ ] + [1/2 * 26.2643 * 1٪] = -4.46٪  

لذا سينخفض ​​السعر بمقدار 40.64 فقط بدلاً من 41.83

يوضح هذا كيف أن انخفاض السعر المتوقع لنفس الزيادة بنسبة 1 ٪ في العائد ، يتغير إذا تم استخدام المدة الوحيدة مقابل تعديل منحنى عائد السعر أيضًا.

لذا فإن السعر عند زيادة بنسبة 1٪ في العائد كما تنبأت به المدة المعدلة هو 869.54 وكما هو متوقع باستخدام المدة المعدلة وتحدب السند هو 870.74. يرجع هذا الاختلاف البالغ 1.12 في تغير السعر إلى حقيقة أن منحنى عائد السعر ليس خطيًا كما تفترضه معادلة المدة.

صيغة تقريب التحدب

كما هو موضح في حساب التحدب ، يمكن أن يكون مملاً وطويلًا خاصةً إذا كان السند طويل الأجل وله تدفقات نقدية عديدة. معادلة تقريب التحدب هي كما يلي:

التحدب وإدارة المخاطر

كما يتضح من الصيغة ، فإن التحدب هو دالة لسعر السند ، YTM (العائد حتى الاستحقاق) ، ووقت الاستحقاق ومجموع التدفقات النقدية. عدد تدفقات القسيمة (التدفقات النقدية) يغير المدة وبالتالي محدودية السند. مدة السندات الصفرية تساوي وقت الاستحقاق ، ولكن نظرًا لأنه لا تزال هناك علاقة محدبة بين سعره وعائده ، فإن السندات ذات القسيمة الصفرية تتمتع بأعلى درجة من التحدب وأسعارها الأكثر حساسية للتغيرات في العائد.

في الرسم البياني أعلاه ، يعتبر السند أ أكثر محدبًا من السند ب على الرغم من أن كلاهما لهما نفس المدة ، وبالتالي فإن السند أ أقل تأثرًا بتغيرات أسعار الفائدة.

التحدب هو أداة لإدارة المخاطر تستخدم لتحديد مدى خطورة السند حيث أنه أكثر محدودية السند ، وأكثر حساسية سعره لتحركات أسعار الفائدة. السند ذو التحدب العالي يكون له تغير أكبر في السعر عندما ينخفض ​​سعر الفائدة من السند ذو التحدب المنخفض. ومن ثم ، عندما يتم تقييم سندات متشابهة للاستثمار مع عائد ومدة مماثلة ، يُفضل السند ذو التحدب الأعلى في سيناريوهات أسعار الفائدة المستقرة أو الهابطة حيث يكون تغير السعر أكبر. في سيناريو انخفاض سعر الفائدة مرة أخرى ، سيكون التحدب الأعلى أفضل لأن خسارة السعر لزيادة أسعار الفائدة ستكون أقل.

التحدب الإيجابي والسلبي

يمكن أن يكون التحدب موجبًا أو سلبيًا. يكون للسند محدب إيجابي إذا زاد أو انخفض العائد ومدة السند معًا ، أي أن لهما ارتباط إيجابي. يتحرك منحنى العائد لهذا عادةً إلى أعلى. هذا النوع مخصص للسند الذي لا يحتوي على خيار شراء أو خيار دفع مسبق. السندات لها تحدب سلبي عندما يزيد العائد ، وتقل المدة ، أي أن هناك علاقة سلبية بين العائد والمدة ويتحرك منحنى العائد إلى أسفل. عادة ما تكون هذه السندات مع خيارات الشراء ، والأوراق المالية المدعومة بالرهن العقاري ، وتلك السندات التي لديها خيار السداد. إذا كان للسند الذي يحتوي على خيار الدفع المسبق أو خيار الشراء قسط يُدفع مقابل الخروج المبكر ، فقد يصبح التحدب إيجابيًا.

تساهم مدفوعات الكوبون وتواتر مدفوعات السند في تحدب السند. إذا كان هناك المزيد من مدفوعات الكوبون الدورية على مدى عمر السند ، فإن التحدب يكون أعلى مما يجعله أكثر مناعة ضد مخاطر أسعار الفائدة حيث تساعد المدفوعات الدورية في إبطال تأثير التغيير في أسعار الفائدة في السوق. إذا كان هناك مبلغ مقطوع ، فإن التحدب هو الأقل مما يجعله استثمارًا أكثر خطورة.

محدب محفظة السندات

بالنسبة لمحفظة السندات ، فإن التحدب سيقيس مخاطر جميع السندات المجمعة معًا وهو المتوسط ​​المرجح للسندات الفردية التي لا تحتوي على سندات أو القيمة السوقية للسندات المستخدمة كأوزان.

على الرغم من أن التحدب يأخذ في الاعتبار الشكل غير الخطي لمنحنى السعر والعائد ويتكيف مع التنبؤ بتغير السعر ، إلا أنه لا يزال هناك بعض الأخطاء المتبقية لأنه هو المشتق الثاني فقط من معادلة السعر والعائد. للحصول على سعر أكثر دقة للتغيير في العائد ، فإن إضافة المشتق التالي سيعطي السعر أقرب بكثير إلى السعر الفعلي للسند. اليوم مع نماذج الكمبيوتر المتطورة التي تتنبأ بالأسعار ، يعد التحدب مقياسًا لمخاطر السندات أو محفظة السندات. أكثر محدب السند أو محفظة السندات أقل خطورة لأنه تغير السعر لخفض أسعار الفائدة أقل. لذا فإن السندات الأكثر محدبة سيكون لها عائد أقل لأن أسعار السوق في خطر أقل.

مخاطر أسعار الفائدة والتحدب

يتضمن قياس المخاطر للسند عددًا من المخاطر. وتشمل هذه على سبيل المثال لا الحصر:

  1. مخاطر السوق التي تتغير في سعر الفائدة في السوق بطريقة غير مربحة
  2. يتم سداد مخاطر السداد المقدم في وقت أبكر من تاريخ الاستحقاق وبالتالي تعطيل التدفقات النقدية
  3. مخاطر التخلف عن السداد هي أن مصدر السندات لن يدفع الفائدة أو المبلغ الأساسي

تعتبر مخاطر أسعار الفائدة مخاطرة عالمية لجميع حاملي السندات حيث أن جميع الزيادة في سعر الفائدة ستقلل من الأسعار وكل الانخفاض في سعر الفائدة سيزيد من سعر السند. تقاس مخاطر أسعار الفائدة هذه بالمدة المعدلة ويتم تنقيحها عن طريق التحدب. التحدب هو مقياس للمخاطر النظامية لأنه يقيس تأثير التغيير في قيمة محفظة السندات مع تغيير أكبر في سعر الفائدة في السوق بينما تكون المدة المعدلة كافية للتنبؤ بتغييرات أصغر في أسعار الفائدة.

كما ذكرنا سابقًا ، يعتبر التحدب إيجابيًا بالنسبة للسندات العادية ، ولكن بالنسبة للسندات ذات الخيارات مثل السندات القابلة للاسترداد ، والأوراق المالية المدعومة بالرهن العقاري (التي لها خيار الدفع المسبق) ، فإن السندات لها محدودية سلبية بأسعار فائدة منخفضة مع زيادة مخاطر الدفع المسبق. بالنسبة لمثل هذه السندات ذات التحدب السلبي ، لا تزيد الأسعار بشكل كبير مع انخفاض أسعار الفائدة حيث تتغير التدفقات النقدية بسبب الدفع المسبق والمكالمات المبكرة.

نظرًا لأن التدفق النقدي أكثر انتشارًا ، يزداد التحدب مع زيادة مخاطر سعر الفائدة مع زيادة الفجوات بين التدفقات النقدية. لذا فإن التحدب كمقياس يكون أكثر فائدة إذا كانت القسائم موزعة بشكل أكبر وتكون ذات قيمة أقل. إذا كان لدينا سند بدون قسيمة ومحفظة سندات بدون قسيمة ، يكون التحدب كما يلي:

  1. مدة سند القسيمة الصفرية التي تساوي استحقاقها (حيث لا يوجد سوى تدفق نقدي واحد) وبالتالي يكون التحدب مرتفعًا جدًا
  2. بينما يمكن تعديل مدة محفظة السندات ذات القسيمة الصفرية بما يتناسب مع مدة السند الواحد ذي القسيمة الصفرية عن طريق تغيير القيمة الاسمية وقيمة الاستحقاق للسندات ذات القسيمة الصفرية داخل المحفظة. ومع ذلك ، فإن محدودية هذه المحفظة أعلى من السند الواحد الذي لا يحتوي على قسيمة واحدة. ويرجع ذلك إلى أن التدفقات النقدية للسندات في المحفظة أكثر تشتتًا من تلك الخاصة بسند واحد بدون قسيمة.

يعد تحدب السندات مع خيار البيع أمرًا إيجابيًا بينما يكون السند مع خيار الشراء سلبيًا. هذا لأنه عندما يكون خيار البيع في النقود ، إذا انخفض السوق ، يمكنك طرح السند أو إذا ارتفع السوق ، فإنك تحافظ على جميع التدفقات النقدية. ومع ذلك ، فإن هذا يجعل التحدب إيجابيًا ، أو السند مع خيار الشراء الذي سيطلق عليه المصدر السند إذا انخفض سعر الفائدة في السوق ، وإذا زاد سعر السوق ، فسيتم الحفاظ على التدفق النقدي. نظرًا للتغير المحتمل في التدفقات النقدية ، يكون تحدب السند سالبًا مع انخفاض أسعار الفائدة.

التحدب المقاس للسند عندما لا يكون هناك تغيير متوقع في التدفقات النقدية المستقبلية يسمى التحدب المعدل. عندما تكون هناك تغييرات متوقعة في التدفقات النقدية المستقبلية ، فإن التحدب الذي يتم قياسه هو التحدب الفعال.

استنتاج

ينشأ التحدب بسبب شكل منحنى السعر والعائد. إذا كان الرسم البياني لعائد السوق ثابتًا وكانت جميع التحولات في الأسعار عبارة عن تحولات متوازية ، فحينئذٍ تكون المحفظة أكثر محدبة ، كان أداءها أفضل ولن يكون هناك مكان للمراجحة. ومع ذلك ، نظرًا لأن الرسم البياني للعائد منحني ، بالنسبة للسندات طويلة الأجل ، يكون منحنى عائد السعر على شكل حدبة لاستيعاب التحدب الأقل في المدى الأخير.

أخيرًا ، التحدب هو مقياس لحساسية السند أو سعر الفائدة للمحفظة ويجب استخدامه لتقييم الاستثمار بناءً على ملف مخاطر المستثمر.


$config[zx-auto] not found$config[zx-overlay] not found