نظرية الحدود المركزية (التعريف ، الصيغة) | الحسابات والأمثلة
تعريف نظرية الحدود المركزية
تنص نظرية الحد المركزي على أن العينات العشوائية لمتغير عشوائي من السكان مع أي توزيع ستقترب من كونها توزيع احتمالي عادي مع زيادة حجم العينة وتفترض أنه نظرًا لأن حجم العينة في المجتمع يتجاوز 30 ، فإن المتوسط من العينة التي سيكون متوسط جميع الملاحظات للعينة ب قريبًا من متوسط عدد السكان.
صيغة نظرية الحدود المركزية
لقد ناقشنا بالفعل أنه عندما يتجاوز حجم العينة 30 ، يأخذ التوزيع شكل التوزيع الطبيعي. لتحديد التوزيع الطبيعي للمتغير ، من المهم معرفة متوسطه وتباينه. يمكن ذكر التوزيع الطبيعي كـ
X ~ N (µ، α)
أين
- N = لا من الملاحظات
- µ = متوسط الملاحظات
- α = الانحراف المعياري
في معظم الحالات ، لا تكشف الملاحظات الكثير في شكلها الخام. لذلك من المهم جدًا توحيد الملاحظات من أجل التمكن من مقارنة ذلك. يتم ذلك بمساعدة z-Score. مطلوب لحساب درجة Z للمراقبة. الصيغة لحساب z-Score هي
Z = (X- µ) / α / n
أين
- Z = درجة Z للملاحظات
- µ = متوسط الملاحظات
- α = الانحراف المعياري
- ن = حجم العينة
خاطئة
تنص نظرية الحد المركزي على أن العينات العشوائية لمتغير عشوائي للسكان مع أي توزيع ستقترب من كونها توزيع احتمالي عادي مع زيادة حجم العينة. تفترض نظرية الحد المركزي أنه نظرًا لأن حجم العينة في المجتمع يتجاوز 30 ، فإن متوسط العينة الذي سيكون متوسط جميع الملاحظات للعينة قريبًا من متوسط المجتمع. أيضًا ، فإن الانحراف المعياري للعينة عندما يتجاوز حجم العينة 30 سيكون مساويًا للانحراف المعياري للسكان. نظرًا لأن العينة يتم اختيارها عشوائيًا من جميع السكان وحجم العينة أكثر من 30 ، فإنها تساعد في اختبار الفرضيات وبناء فترة الثقة لاختبار الفرضية.
أمثلة على صيغة نظرية الحدود المركزية (مع قالب Excel)
يمكنك تنزيل قالب Excel لصيغة نظرية الحدود المركزية هنا - نموذج Excel لصيغة نظرية الحدود المركزيةمثال 1
دعنا نفهم مفهوم التوزيع الطبيعي بمساعدة مثال. متوسط العائد من الصندوق المشترك هو 12٪ ، والانحراف المعياري عن متوسط العائد لاستثمار الصندوق المشترك هو 18٪. إذا افترضنا أن توزيع العائد يتم توزيعه بشكل طبيعي ، فلنقم بتفسير توزيع العائد على استثمار الصندوق المشترك.
معطى،
- متوسط عائد الاستثمار سيكون 12٪
- سيكون الانحراف المعياري 18٪
لذلك ، من أجل معرفة العائد لفاصل ثقة 95٪ ، يمكننا معرفة ذلك عن طريق حل المعادلة مثل
- المدى العلوي = 12 + 1.96 (18) = 47٪
- المدى الأدنى = 12 - 1.96 (18) = -23٪
تشير النتيجة إلى أن 95٪ من المرات العائد من الصندوق المشترك سيكون في حدود 47٪ إلى -23٪. في هذا المثال ، حجم العينة الذي يمثل عودة عينة عشوائية لأكثر من 30 ملاحظة للعائد سيوفر لنا نتيجة العائد السكاني للصندوق المشترك حيث سيتم توزيع العينة بشكل طبيعي.
المثال رقم 2
بالاستمرار في نفس المثال ، دعنا نحدد نتيجة فترة ثقة 90٪
معطى،
- متوسط عائد الاستثمار سيكون 12٪
- سيكون الانحراف المعياري 18٪
لذلك ، من أجل معرفة العائد لفترة ثقة 90٪ ، يمكننا معرفة ذلك عن طريق حل المعادلة مثل
- المدى العلوي = 12 + 1.65 (18) = 42٪
- المدى الأدنى = 12 - 1.65 (18) = -18٪
تشير النتيجة إلى أن 90٪ من المرات العائد من الصندوق المشترك سيكون في حدود 42٪ إلى -18٪.
المثال رقم 3
بالاستمرار في نفس المثال ، دعنا نحدد نتيجة فاصل الثقة 99٪
معطى،
- متوسط عائد الاستثمار سيكون 12٪
- سيكون الانحراف المعياري 18٪
لذلك ، من أجل معرفة العائد لفترة ثقة 90٪ ، يمكننا معرفة ذلك عن طريق حل المعادلة مثل
- المدى العلوي = 12 + 2.58 (18) = 58٪
- المدى الأدنى = 12 - 2.58 (18) = -34٪
تشير النتيجة إلى أن 99٪ من المرات العائد من الصندوق المشترك سيكون في حدود 58٪ إلى -34٪.
الصلة والاستخدام
تعتبر نظرية الحد المركزي مفيدة للغاية لأنها تسمح للباحث بالتنبؤ بالمتوسط والانحراف المعياري لجميع السكان بمساعدة العينة. نظرًا لأن العينة يتم اختيارها عشوائيًا من جميع السكان وحجم العينة أكثر من 30 ، فإن أي حجم عينة عشوائي مأخوذ من المجتمع سيقترب من التوزيع الطبيعي مما سيساعد في اختبار الفرضيات وبناء فترة الثقة للفرضية اختبارات. على أساس نظرية الحد المركزي ،يمكن للباحث اختيار أي عينة عشوائية من جميع السكان وعندما يكون حجم العينة أكثر من 30 فيمكنه التنبؤ بالسكان بمساعدة العينة حيث ستتبع العينة التوزيع الطبيعي وأيضًا كوسيلة و سيكون الانحراف المعياري للعينة هو نفسه المتوسط والانحراف المعياري للمحتوى.
