صيغة التوزيع ذات الحدين | حساب خطوة بخطوة | مثال
صيغة لحساب التوزيع ذي الحدين
تُستخدم صيغة التوزيع ذات الحدين لحساب احتمالية تحقيق x مرات النجاح في التجارب n للتجربة ذات الحدين المستقلة ويتم اشتقاق الاحتمال من خلال الجمع بين عدد التجارب وعدد مرات النجاح التي يمثلها nCx مضروبًا في احتمال النجاح الذي تم رفعه إلى قوة عدد النجاحات التي يمثلها بكسل والتي يتم ضربها لاحتمالية الفشل المرفوعة إلى قوة الاختلاف بين عدد النجاح وعدد المحاولات التي يمثلها (1-p) nx.
تعطى احتمالية تحقيق x نجاحات في n تجارب مستقلة لتجربة ذات الحدين بالصيغة التالية للتوزيع ذي الحدين:
P (X) = n C x px (1-p) nx
حيث p هو احتمال النجاح
في المعادلة أعلاه ، يتم استخدام n C x ، وهي ليست سوى صيغة مجموعات. تُعطى صيغة حساب التوليفات على النحو التالي: n C x = n! / س! (nx)! حيث يمثل n عدد العناصر (التجارب المستقلة) ويمثل x عدد العناصر التي يتم اختيارها في كل مرة (النجاحات).
في الحالة n = 1 في التوزيع ذي الحدين ، يُعرف التوزيع باسم توزيع برنولي. متوسط التوزيع ذي الحدين هو np. تباين التوزيع ذي الحدين هو np (1-p).
حساب التوزيع ذي الحدين (خطوة بخطوة)
يمكن اشتقاق حساب التوزيع ذي الحدين باتباع الخطوات الأربع البسيطة التالية:
- الخطوة 1: احسب الجمع بين عدد المحاولات وعدد النجاحات. صيغة n C x هي حيث n! = n * (n-1) * (n-2). . . * 2 * 1. بالنسبة إلى العدد n ، يمكن كتابة عامل n كـ n! = ن * (ن -1)! على سبيل المثال ، 5! هو 5 * 4 * 3 * 2 * 1
- الخطوة 2: احسب احتمالية النجاح مرفوعة إلى قوة عدد مرات النجاح التي تساوي بكسل.
- الخطوة 3: احسب احتمال الفشل المرتفع إلى قوة الفرق بين عدد النجاحات وعدد المحاولات. احتمال الفشل هو 1-p. وبالتالي ، يشير هذا إلى الحصول على (1-p) nx
- الخطوة 4: اكتشف ناتج النتائج التي تم الحصول عليها في الخطوة 1 والخطوة 2 والخطوة 3.
أمثلة
يمكنك تنزيل نموذج Excel لصيغة التوزيع ذي الحدين هنا - نموذج Excel لصيغة التوزيع ذي الحدينمثال 1
عدد التجارب (ن) هو 10. احتمال النجاح (ع) هو 0.5. قم بحساب التوزيع ذي الحدين لحساب احتمال الحصول على 6 مرات نجاح بالضبط.
المحلول:
استخدم البيانات التالية لحساب التوزيع ذي الحدين.
يمكن حساب التوزيع ذي الحدين على النحو التالي ،
الفوسفور (س = 6) = 10 ج 6 * (0.5) 6 (1-0.5) 10-6
= (10! / 6! (10-6)!) * 0.015625 * (0.5) 4
= 210 * 0.015625 * 0.0625
احتمال الحصول على بالضبط 6 النجاحات ولما كانت
الفوسفور (س = 6) = 0.205
احتمال تحقيق 6 حالات نجاح بالضبط هو 0.2051
المثال رقم 2
يقوم مدير شركة تأمين بالاطلاع على بيانات بوالص التأمين التي يبيعها بائعو التأمين العاملون تحت إشرافه. وجد أن 80٪ من الأشخاص الذين يشترون التأمين على السيارات هم من الرجال. إنه يريد أن يكتشف أنه إذا تم اختيار 8 من أصحاب التأمين على السيارات بشكل عشوائي ، فما هو احتمال أن يكون 5 منهم بالضبط رجال.
الحل: علينا أولاً معرفة ما هي n و p و x.
يمكن حساب التوزيع ذي الحدين على النحو التالي ،
الفوسفور (س = 5) = 8 ج 5 * (0.8) 5 (1-0.8) 8-5
= (8! / 5! (8-5)!) * 0.32768 * (0.2) 3
= 56 * 0.32768 * 0.008
احتمال بالضبط 5 النجاحات ولما كانت
الفوسفور (س = 5) = 0.14680064
إن احتمال أن يكون خمسة من أصحاب التأمين على المركبات من الرجال بالضبط هو 0.14680064.
المثال رقم 3
إن إدارة المستشفى متحمسة لإدخال دواء جديد لعلاج مرضى السرطان لأن فرصة علاج الشخص بنجاح عالية للغاية. احتمال أن يعالج المريض بنجاح بواسطة الدواء هو 0.8. يتم إعطاء الدواء لعشرة مرضى. أوجد احتمال تلقي 9 مرضى أو أكثر للعلاج بنجاح بواسطته.
الحل: علينا أولاً معرفة ما هو n و p و x.
علينا أن نجد احتمالية أن يتم علاج 9 مرضى أو أكثر بنجاح بواسطتها. وبالتالي ، يتم علاج 9 أو 10 مرضى بنجاح
x (الرقم الذي يجب أن تجد احتماله) = 9 أو x = 10
علينا إيجاد P (9) و P (10)
يمكن حساب التوزيع ذي الحدين لإيجاد P (x = 9) على النحو التالي ،
الفوسفور (س = 9) = 10 ج 9 * (0.8) 9 (1-0.8) 10-9
= (10! / 9! (10-9)!) * 0.134217728 * (0.2)
= 10 * 0.134217728 * 0.2
سيكون احتمال 9 مرضى-
الفوسفور (س = 9) = 0.2684
يمكن حساب التوزيع ذي الحدين لإيجاد P (x = 10) على النحو التالي ،
الفوسفور (س = 10) = 10 ج 10 * (0.8) 10 (1-0.8) 10-10
= (10! / 10! (10-10)!) * 0.107374182 * (0.2) 0
= 1 * 0.107374182 *
سيكون احتمال 10 مرضى-
الفوسفور (س = 10) = 0.1074
لذلك ، ف (س = 9) + ف (س = 10) = 0.268 + 0.1074
= 0.3758
وبالتالي ، فإن احتمال علاج 9 مرضى أو أكثر بالعقار هو 0.375809638.
حاسبة التوزيع ذي الحدين
يمكنك استخدام حاسبة التوزيع ذات الحدين التالية.
| ن | |
| ص | |
| x | |
| صيغة التوزيع ذات الحدين = | |
| صيغة التوزيع ذات الحدين = | n C x * px * (1 -p) nx | |
| 0 ج 0 * 0 0 * (1 - 0) 0 - 0 = | 0 |
الصلة والاستخدام
- هناك نتيجتان فقط
- يظل احتمال كل نتيجة ثابتًا من تجربة إلى أخرى
- هناك عدد محدد من المحاكمات
- كل تجربة مستقلة ، أي يستبعد بعضها الآخر
- يوفر لنا التوزيع التكراري للعدد المحتمل للنتائج الناجحة في عدد معين من التجارب حيث يكون لكل من هذه التجارب المعطاة نفس احتمالية النجاح.
- يمكن أن تؤدي كل تجربة في تجربة ذات الحدين إلى نتيجتين محتملتين فقط. ومن ثم ، فإن الاسم "ذو الحدين". تُعرف إحدى هذه النتائج بالنجاح والأخرى بالفشل. على سبيل المثال ، قد يستجيب المرضى للعلاج أم لا.
- وبالمثل ، عندما نرمي عملة معدنية ، يمكن أن نحصل على نوعين فقط من النتائج: الرأس أو الذيل. التوزيع ذو الحدين هو توزيع منفصل يستخدم في الإحصاء ، ويختلف عن التوزيع المستمر.
مثال على تجربة ذات الحدين هو رمي عملة معدنية ، على سبيل المثال ثلاث مرات. عندما نقلب قطعة نقود ، تكون نتيجتان فقط محتملتان - الرؤوس والذيل. احتمال كل نتيجة 0.5. نظرًا لرمي العملة ثلاث مرات ، فإن عدد المحاولات ثابت وهو 3. لا يتأثر احتمال كل رمية بالقذفات الأخرى.
يجد التوزيع ذو الحدين تطبيقاته في إحصائيات العلوم الاجتماعية. يتم استخدامه لتطوير نماذج لمتغيرات النتائج ثنائية التفرع حيث توجد نتيجتان. مثال على ذلك هو ما إذا كان الجمهوريون أو الديمقراطيون سيفوزون في الانتخابات.
صيغة التوزيع ذات الحدين في Excel (مع قالب Excel)
وتعرف سوراب على معادلة التوزيع ذات الحدين في المدرسة. يريد مناقشة هذا المفهوم مع أخته والمراهنة معها. كان يعتقد أنه سيرمي عملة غير متحيزة 10 مرات. إنه يريد المراهنة بمبلغ 100 دولار على الحصول بالضبط على 5 ذيول في 10 رميات. لغرض هذا الرهان ، يريد حساب احتمال الحصول على 5 ذيول بالضبط في 10 رميات.
الحل: علينا أولاً معرفة ما هو n و p و x.
هناك صيغة مضمنة للتوزيع ذي الحدين وهي Excel وهي
إنه BINOM.DIST (عدد النجاحات ، التجارب ، احتمالية النجاح ، خطأ).
لهذا المثال من التوزيع ذي الحدين سيكون:
= BINOM.DIST (B2، B3، B4، FALSE) حيث تمثل الخلية B2 عدد حالات النجاح ، وتمثل الخلية B3 عدد التجارب وتمثل الخلية B4 احتمال النجاح.
لذلك ، سيكون حساب التوزيع ذي الحدين-
الفوسفور (س = 5) = 0.24609375
احتمال الحصول على 5 ذيول بالضبط في 10 رميات هو 0.24609375
ملاحظة: يشير FALSE في الصيغة أعلاه إلى دالة كتلة الاحتمال. يحسب احتمال وجود n نجاحات بالضبط من n من التجارب المستقلة. تشير TRUE إلى دالة التوزيع التراكمي. يحسب احتمال وجود x نجاحات على الأكثر من n من التجارب المستقلة.
