صيغة الانحدار | حساب خطوة بخطوة (مع أمثلة)

صيغة لحساب الانحدار

تُستخدم صيغة الانحدار لتقييم العلاقة بين المتغير التابع والمستقل ومعرفة كيفية تأثيره على المتغير التابع عند تغيير المتغير المستقل ويتم تمثيله بالمعادلة Y يساوي aX زائد b حيث Y هو المتغير التابع ، و a هو المنحدر من معادلة الانحدار ، x هو المتغير المستقل و b ثابت.

استخدم تحليل الانحدار على نطاق واسع الأساليب الإحصائية لتقدير العلاقات بين واحد أو أكثر من المتغيرات المستقلة والمتغيرات التابعة. يعد الانحدار أداة قوية حيث يتم استخدامه لتقييم قوة العلاقة بين متغيرين أو أكثر ثم يتم استخدامه لنمذجة العلاقة بين تلك المتغيرات في المستقبل.

ص = أ + ب س + ∈

أين:

  • Y - هو المتغير التابع
  • X - هو المتغير المستقل (التوضيحي)
  • أ - هو التقاطع
  • ب - هو المنحدر
  • ∈ - وهو المتبقي (خطأ)

يمكن حساب معادلة التقاطع "أ" والميل "ب" أدناه.

أ = (y) (Σx2) - (x) (Σxy) / n (Σx2) - (Σx) 2 b = n  (Σxy) - (Σx) (Σy)  / n (Σx2) - (x) 2

خاطئة

يستخدم تحليل الانحدار كما ذكرنا سابقًا بشكل رئيسي لإيجاد المعادلات التي تناسب البيانات. التحليل الخطي هو أحد أنواع تحليل الانحدار. معادلة الخط هي y = a + bX. Y هو المتغير التابع في الصيغة والذي يحاول المرء توقع القيمة المستقبلية إذا تغير X متغير مستقل بقيمة معينة. "أ" في الصيغة هو التقاطع وهو تلك القيمة التي ستبقى ثابتة بغض النظر عن التغيرات في المتغير المستقل والمصطلح "ب" في الصيغة هو المنحدر الذي يشير إلى مقدار المتغير التابع على المتغير المستقل.

أمثلة

يمكنك تنزيل نموذج Excel لصيغة الانحدار هنا - نموذج Excel لصيغة الانحدار

مثال 1

ضع في اعتبارك المتغيرين التاليين x و y ، فأنت مطالب بحساب الانحدار.

المحلول:

باستخدام الصيغة أعلاه ، يمكننا القيام بحساب الانحدار الخطي في التفوق على النحو التالي.

لدينا جميع القيم في الجدول أعلاه مع n = 5.

الآن ، أولاً ، احسب التقاطع والميل للانحدار.

حساب التقاطع على النحو التالي ،

أ = (628.33 * 88.017.46) - (519.89 * 106206.14) / 5 * 88.017.46 - (519.89) 2

أ = 0.52

حساب المنحدر على النحو التالي ،

ب = (5 * 106،206.14) - (519.89 * 628.33) / (5 * 88،017.46) - (519،89) 2

ب = 1.20

لنقم الآن بإدخال القيم في صيغة الانحدار للحصول على الانحدار.

ومن هنا فإن خط الانحدار Y = 0.52 + 1.20 * X 

المثال رقم 2

أنشأ بنك الدولة الهندي مؤخرًا سياسة جديدة لربط سعر الفائدة على حساب التوفير بسعر إعادة الشراء ، ويريد مدقق حسابات بنك الدولة الهندي إجراء تحليل مستقل للقرارات التي يتخذها البنك فيما يتعلق بتغييرات أسعار الفائدة سواء تم تغييرها متى كانت هناك تغييرات في سعر الريبو. فيما يلي ملخص لسعر إعادة الشراء ومعدل الفائدة على حساب التوفير للبنك الذي كان سائدًا في تلك الأشهر أدناه.

لقد اتصل بك مدقق حسابات بنك الدولة لإجراء تحليل وتقديم عرض تقديمي عنه في الاجتماع التالي. استخدم معادلة الانحدار وحدد ما إذا كان سعر البنك قد تغير عندما تم تغيير سعر إعادة الشراء؟

المحلول:

باستخدام الصيغة التي تمت مناقشتها أعلاه ، يمكننا حساب الانحدار الخطي في Excel. معاملة سعر إعادة الشراء كمتغير مستقل ، أي X ومعاملة سعر البنك باعتباره المتغير التابع على أنه Y.

لدينا جميع القيم في الجدول أعلاه مع n = 6.

الآن ، أولاً ، احسب التقاطع والميل للانحدار.

حساب التقاطع على النحو التالي ،

أ = (24.17 * 237.69) - (37.75 * 152.06) / 6 * 237.69 - (37.75) 2

أ = 4.28

حساب المنحدر على النحو التالي ،

ب = (6 * 152.06) - (37.75 * 24.17) / 6 * 237.69 - (37.75) 2

ب = -0.04

دعنا الآن ندخل القيم في الصيغة للوصول إلى الشكل.

ومن هنا فإن خط الانحدار Y = 4.28 - 0.04 * X

التحليل: يبدو أن بنك الدولة الهندي يتبع بالفعل قاعدة ربط معدل الادخار الخاص به بسعر إعادة الشراء حيث توجد بعض قيمة الانحدار التي تشير إلى وجود علاقة بين معدل إعادة الشراء ومعدل حساب التوفير لدى البنك.

المثال رقم 3

يجري مختبر ABC أبحاثًا حول الطول والوزن ويريد معرفة ما إذا كانت هناك أي علاقة مثل زيادة الوزن وزيادة الوزن أيضًا. لقد جمعوا عينة من 1000 شخص لكل فئة من الفئات وتوصلوا إلى متوسط ​​الطول في تلك المجموعة.

فيما يلي التفاصيل التي جمعوها.

أنت مطالب بحساب الانحدار والتوصل إلى استنتاج مفاده وجود أي علاقة من هذا القبيل.

المحلول:

باستخدام الصيغة التي تمت مناقشتها أعلاه ، يمكننا حساب الانحدار الخطي في Excel. معاملة الارتفاع كمتغير مستقل ، أي X ومعاملة الوزن على أنه المتغير التابع على أنه Y.

لدينا جميع القيم في الجدول أعلاه مع n = 6

الآن ، أولاً ، احسب التقاطع والميل للانحدار.

حساب التقاطع على النحو التالي ،

أ = (350 * 120،834) - (850 * 49،553) / 6 * 120،834 - (850) 2

أ = 68.63

حساب المنحدر على النحو التالي ،

ب = (6 * 49553) - (850 * 350) / 6 * 120834 - (850) 2

ب = -0.07

دعنا الآن ندخل القيم في الصيغة للوصول إلى الشكل.

ومن هنا فإن خط الانحدار Y = 68.63 - 0.07 * X

التحليل: يبدو أن هناك علاقة أقل أهمية بين الطول والوزن لأن المنحدر منخفض جدًا.

ملاءمة واستخدامات صيغة الانحدار

عندما يصور معامل الارتباط أن البيانات يمكن أن تتنبأ بالنتائج المستقبلية ومع ذلك يبدو أن مخطط التبعثر لمجموعة البيانات نفسها يشكل خطًا خطيًا أو مستقيمًا ، عندئذٍ يمكن للمرء استخدام الانحدار الخطي البسيط باستخدام أفضل ملاءمة للعثور على مؤشر تنبؤي القيمة أو الوظيفة التنبؤية. يحتوي تحليل الانحدار على العديد من التطبيقات في مجال التمويل حيث يستخدم في CAPM وهو نموذج تسعير الأصول الرأسمالية طريقة في التمويل يمكن استخدامه للتنبؤ بإيرادات ومصروفات الشركة.