التوزيع الأسي (التعريف ، الصيغة) | كيفية حساب؟
ما هو التوزيع الأسي؟
يشير التوزيع الأسي إلى التوزيع الاحتمالي المستمر والثابت الذي يتم استخدامه فعليًا لنمذجة الفترة الزمنية التي يحتاج الشخص إلى انتظارها قبل حدوث الحدث المحدد وهذا التوزيع هو نظير مستمر للتوزيع الهندسي المميز بدلاً من ذلك.
صيغة التوزيع الأسي
يُقال إن المتغير العشوائي المستمر x (مع معلمة المقياس λ> 0) له توزيع أسي فقط إذا كان من الممكن التعبير عن دالة كثافة الاحتمال الخاصة به بضرب معلمة المقياس إلى الوظيفة الأسية لمعلمة مقياس الطرح و x لجميع x أكبر من أو يساوي صفرًا ، وإلا فإن دالة كثافة الاحتمال تساوي صفرًا.
رياضيا ، يتم تمثيل دالة كثافة الاحتمال على النحو التالي ،
مثل هذا المتوسط يساوي 1 / λ والتباين يساوي 1/2.
حساب التوزيع الأسي (خطوة بخطوة)
- الخطوة 1: أولاً ، حاول معرفة ما إذا كان الحدث قيد النظر مستمرًا ومستقلًا بطبيعته ويحدث بمعدل ثابت تقريبًا. سيضمن أي حدث عملي أن المتغير أكبر من أو يساوي الصفر.
- الخطوة 2: بعد ذلك ، حدد قيمة معلمة المقياس ، والتي تكون دائمًا مقلوبة للمتوسط.
-
- λ = 1 / متوسط
- الخطوة 3: بعد ذلك ، اضرب معلمة المقياس λ والمتغير x ثم احسب الدالة الأسية للمنتج مضروبة في ناقص واحد ، أي e - λ * x.
- الخطوة 4: أخيرًا ، تُحسب دالة كثافة الاحتمال بضرب الدالة الأسية ومعلمة المقياس.
إذا كانت الصيغة أعلاه صحيحة لجميع س أكبر من أو تساوي الصفر ، فإن س هو توزيع أسي.
مثال
يمكنك تنزيل قالب Excel للتوزيع الأسي هذا هنا - قالب Excel للتوزيع الأسي
لنأخذ المثال ، x وهو مقدار الوقت الذي يستغرقه موظف المكتب (بالدقائق) للتسليم من مكتب المدير إلى مكتب الكاتب. يفترض أن دالة الوقت المستغرق لها توزيع أسي بمتوسط مقدار الوقت يساوي خمس دقائق.
بالنظر إلى أن x متغير عشوائي مستمر منذ أن تم قياس الوقت.
المتوسط ، μ = 5 دقائق
لذلك ، مقياس الرسم ، λ = 1 / μ = 1/5 = 0.20
ومن ثم ، يمكن اشتقاق دالة احتمالية التوزيع الأسي على النحو التالي ،
و (س) = 0.20 هـ - 0.20 * س
الآن ، احسب دالة الاحتمال بقيم مختلفة لـ x لاشتقاق منحنى التوزيع.
بالنسبة إلى x = 0
دالة احتمالية التوزيع الأسي لـ x = 0 ستكون ،
وبالمثل ، احسب دالة احتمالية التوزيع الأسي لـ x = 1 إلى x = 30
- بالنسبة إلى x = 0 ، f (0) = 0.20 e -0.20 * 0 = 0.200
- بالنسبة إلى x = 1 ، f (1) = 0.20 e -0.20 * 1 = 0.164
- بالنسبة إلى x = 2 ، f (2) = 0.20 e -0.20 * 2 = 0.134
- بالنسبة إلى x = 3 ، f (3) = 0.20 e -0.20 * 3 = 0.110
- بالنسبة إلى x = 4 ، f (4) = 0.20 e -0.20 * 4 = 0.090
- بالنسبة إلى x = 5 ، f (5) = 0.20 e -0.20 * 5 = 0.074
- بالنسبة إلى x = 6 ، f (6) = 0.20 e -0.20 * 6 = 0.060
- بالنسبة إلى x = 7 ، f (7) = 0.20 e -0.20 * 7 = 0.049
- بالنسبة إلى x = 8 ، f (8) = 0.20 e -0.20 * 8 = 0.040
- بالنسبة إلى x = 9 ، f (9) = 0.20 e -0.20 * 9 = 0.033
- بالنسبة إلى x = 10 ، f (10) = 0.20 e -0.20 * 10 = 0.027
- بالنسبة إلى x = 11 ، f (11) = 0.20 e -0.20 * 11 = 0.022
- بالنسبة إلى x = 12 ، f (12) = 0.20 e -0.20 * 12 = 0.018
- بالنسبة إلى x = 13 ، f (13) = 0.20 e -0.20 * 13 = 0.015
- بالنسبة إلى x = 14 ، f (14) = 0.20 e -0.20 * 14 = 0.012
- بالنسبة إلى x = 15 ، f (15) = 0.20 e -0.20 * 15 = 0.010
- بالنسبة إلى x = 16 ، f (16) = 0.20 e -0.20 * 16 = 0.008
- بالنسبة إلى x = 17 ، f (17) = 0.20 e -0.20 * 17 = 0.007
- بالنسبة إلى x = 18 ، f (18) = 0.20 e -0.20 * 18 = 0.005
- بالنسبة إلى x = 19 ، f (19) = 0.20 e -0.20 * 19 = 0.004
- بالنسبة إلى x = 20 ، f (20) = 0.20 e -0.20 * 20 = 0.004
- بالنسبة إلى x = 21 ، f (21) = 0.20 e -0.20 * 21 = 0.003
- بالنسبة إلى x = 22 ، f (22) = 0.20 e -0.20 * 22 = 0.002
- بالنسبة إلى x = 23 ، f (23) = 0.20 e -0.20 * 23 = 0.002
- بالنسبة إلى x = 24 ، f (24) = 0.20 e -0.20 * 24 = 0.002
- بالنسبة إلى x = 25 ، f (25) = 0.20 e -0.20 * 25 = 0.001
- بالنسبة إلى x = 26 ، f (26) = 0.20 e -0.20 * 26 = 0.001
- بالنسبة إلى x = 27 ، f (27) = 0.20 e -0.20 * 27 = 0.001
- بالنسبة إلى x = 28 ، f (28) = 0.20 e -0.20 * 28 = 0.001
- بالنسبة إلى x = 29 ، f (29) = 0.20 e -0.20 * 29 = 0.001
- بالنسبة إلى x = 30 ، f (30) = 0.20 e -0.20 * 30 = 0.000
لقد استنتجنا منحنى التوزيع على النحو التالي ،
الصلة والاستخدام
على الرغم من أن افتراض المعدل الثابت نادرًا ما يكون راضيًا في سيناريوهات العالم الحقيقي ، إذا تم تحديد الفاصل الزمني بحيث يكون المعدل ثابتًا تقريبًا ، فيمكن استخدام التوزيع الأسي كنموذج تقريبي جيد. لها العديد من التطبيقات الأخرى في مجال الفيزياء والهيدرولوجيا وما إلى ذلك.
في نظرية الإحصاء والاحتمالات ، يشير التعبير عن التوزيع الأسي إلى توزيع الاحتمالات المستخدم لتحديد الوقت بين حدثين متتاليين يحدثان بشكل مستقل ومستمر بمعدل متوسط ثابت. إنه أحد التوزيعات المستمرة المستخدمة على نطاق واسع ويرتبط ارتباطًا وثيقًا بتوزيع بواسون في Excel.
