صيغة نقاط Z | خطوة بخطوة حساب Z-Score

صيغة لحساب Z-Score

تشير درجة Z من البيانات الأولية إلى الدرجة الناتجة عن قياس عدد الانحرافات المعيارية أعلى أو أقل من متوسط ​​المحتوى في البيانات ، مما يساعد في اختبار الفرضية قيد الدراسة. بمعنى آخر ، إنها مسافة نقطة البيانات من وسط المحتوى التي يتم التعبير عنها كمضاعف الانحراف المعياري.

  • تختلف درجات z في نطاق -3 أضعاف الانحراف المعياري (أقصى يسار التوزيع الطبيعي) إلى +3 مرات الانحراف المعياري (أقصى يمين التوزيع الطبيعي).
  • تحتوي الدرجات z على متوسط ​​0 وانحراف معياري قدره 1.

تُحسب معادلة z-Score لنقطة بيانات بطرح متوسط ​​المحتوى من نقطة البيانات (المشار إليها بـ x ) ثم تُقسَّم النتيجة على الانحراف المعياري للمحتوى. رياضيا ، يتم تمثيلها على أنها ،

درجة Z = (x - μ) / ơ

أين

  • س = نقطة البيانات
  • μ = متوسط
  • ơ = الانحراف المعياري

حساب Z Score (خطوة بخطوة)

يمكن اشتقاق معادلة z-Score لنقطة بيانات باتباع الخطوات التالية:

  • الخطوة 1: أولاً ، حدد متوسط ​​مجموعة البيانات بناءً على نقاط البيانات أو الملاحظات التي يُشار إليها بالرمز x i ، بينما يُشار إلى العدد الإجمالي لنقاط البيانات في مجموعة البيانات بالرمز N.

  • الخطوة 2: بعد ذلك ، حدد الانحراف المعياري للسكان على أساس متوسط ​​السكان μ ونقاط البيانات x i وعدد نقاط البيانات في المجموعة N.

  • الخطوة 3: أخيرًا ، يتم اشتقاق z-score بطرح المتوسط ​​من نقطة البيانات ثم يتم تقسيم النتيجة على الانحراف المعياري كما هو موضح أدناه.

أمثلة

يمكنك تنزيل قالب Excel الخاص بصيغة Z Score من هنا - نموذج Z Score Formula Excel

مثال 1

لنأخذ مثال فصل مكون من 50 طالبًا كتبوا اختبار العلوم الأسبوع الماضي. اليوم هو يوم النتيجة وقد أخبر مدرس الفصل أن جون سجل 93 في الاختبار بينما كان متوسط ​​درجات الفصل 68. حدد درجة z لعلامة اختبار جون إذا كان الانحراف المعياري هو 13.

المحلول:

معطى،

  • درجة اختبار جون ، س = 93
  • يعني ، μ = 68
  • الانحراف المعياري ơ = 13

لذلك ، يمكن حساب الدرجة المعيارية لدرجة اختبار جون باستخدام الصيغة أعلاه ،

Z = (93-68) / 13

ستكون نقاط Z -

درجة Z = 1.92

لذلك ، فإن درجة Ztest لجون هي 1.92 انحراف معياري أعلى من متوسط ​​درجات الفصل ، مما يعني أن 97.26٪ من الفصل (49 طالبًا) سجلوا درجات أقل من جون.

المثال رقم 2

دعونا نأخذ مثالاً مفصلاً آخر لـ 30 طالبًا (حيث أن z-test ليس مناسبًا لأقل من 30 نقطة بيانات) الذين ظهروا في اختبار الفصل. حدد درجة اختبار z للطالب الرابع بناءً على العلامات التي سجلها الطلاب من 100-55 ، 67 ، 84 ، 65 ، 59 ، 68 ، 77 ، 95 ، 88 ، 78 ، 53 ، 81 ، 73 ، 66 ، 65 ، 52 ، 54 ، 83 ، 86 ، 94 ، 85 ، 72 ، 62 ، 64 ، 74 ، 82 ، 58 ، 57 ، 51 ، 91.

المحلول:

معطى،

  • س = 65 ،
  • معدل الطالب الرابع = 65 ،
  • عدد نقاط البيانات ، N = 30.

المتوسط ​​= (55 + 67 + 84 + 65 + 59 + 68 + 77 + 95 + 88 + 78 + 53 + 81 + 73 + 66 + 65 + 52 + 54 + 83 + 86 + 94 + 85 + 72 + 62 + 64 + 74 + 82 + 58 + 57 + 51 + 91) / 30

يعني = 71.30

الآن ، يمكن حساب الانحراف المعياري باستخدام الصيغة كما هو موضح أدناه ،

ơ = 13.44

لذلك ، يمكن حساب الدرجة Z للطالب الرابع باستخدام الصيغة أعلاه ،

Z = (س - س) / ث

  • Z = (65 –30) / 13.44
  • ض = -0.47

وبالتالي ، فإن درجة الطالب الرابع هي 0.47 انحراف معياري أقل من متوسط ​​درجات الفصل ، مما يعني أن 31.92٪ من الفصل (10 طلاب) سجلوا درجات أقل من الطالب الرابع وفقًا لجدول z- درجة.

نقاط Z في Excel (مع قالب Excel)

الآن ، دعنا نأخذ الحالة المذكورة في المثال 2 لتوضيح مفهوم z-Score في نموذج Excel أدناه.

يوجد أدناه بيانات لحساب Z Score

يمكنك الرجوع إلى ورقة Excel المحددة أدناه للحصول على الحساب التفصيلي لإحصائيات اختبار صيغة Z للنتيجة.

الصلة والاستخدامات

من منظور اختبار الفرضيات ، تعتبر z-score مفهومًا مهمًا للغاية لفهمه لأنه يتم استخدامه لاختبار ما إذا كانت إحصائية الاختبار تقع في النطاق المقبول للقيمة أم لا. تُستخدم الدرجة المعيارية أيضًا لتوحيد البيانات قبل التحليل ، وحساب احتمال الحصول على درجة أو مقارنة نقطتين أو أكثر من نقاط البيانات التي تكون من توزيعات عادية مختلفة. هناك تطبيق متنوع لدرجة z عبر الحقول إذا تم تطبيقها بشكل صحيح.